Aljabar Linear Contoh

$2 x + y = 5 z + 8 w$ , $x = z + 2 w$

Langkah 1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $5 z$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x + y - 5 z = 8 w, x = z + 2 w$

Langkah 1.2

Kurangkan $8 w$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x + y - 5 z - 8 w = 0, x = z + 2 w$

Langkah 2

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kurangkan $z$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x + y - 5 z - 8 w = 0, x - z = 2 w$

Langkah 2.2

Kurangkan $2 w$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x + y - 5 z - 8 w = 0, x - z - 2 w = 0$

Langkah 3

Tulis sistem persamaan tersebut dalam bentuk matriks.

$[\begin{array}{c} - 8 & 2 & 1 & - 5 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 4

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8} \cdot - 8 & - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 1 & - \frac{1}{8} \cdot - 5 & - \frac{1}{8} \cdot 0 \\ - 2 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{1}{4}) & 0 + 2 (- \frac{1}{8}) & - 1 + 2 (\frac{5}{8}) & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $2$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $2$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (- \frac{1}{4}) & 2 (\frac{1}{4}) & 2 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 4.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1 & - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{2}) & \frac{5}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} & 0 + \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 5

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir untuk sistem persamaan tersebut.

$w - \frac{y}{4} + \frac{3 z}{4} = 0$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 0$

Langkah 6

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $w$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tambahkan $\frac{y}{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$w + \frac{3 z}{4} = \frac{y}{4}$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 0$

Langkah 6.2

Kurangkan $\frac{3 z}{4}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$w = \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 0$

$w = \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 0$

Langkah 7

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tambahkan $\frac{y}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$x + \frac{z}{2} = \frac{y}{2}$

$w = \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}$

Langkah 7.2

Kurangkan $\frac{z}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = \frac{y}{2} - \frac{z}{2}$

$w = \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}$

$x = \frac{y}{2} - \frac{z}{2}$

$w = \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}$

Langkah 8

Penyelesaiannya adalah himpunan pasangan terurut yang membuat sistem tersebut benar.

$(\frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}, \frac{y}{2} - \frac{z}{2}, y, z)$

Langkah 9

Menguraikan vektor penyelesaian dengan menata ulang setiap persamaan yang diwakilkan dalam bentuk pengurangan-baris dari matriks imbuhan dengan menyelesaikan variabel terikat di setiap baris sehingga menghasilkan persamaan vektor.

$X = [\begin{array}{c} w \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4} \\ \frac{y}{2} - \frac{z}{2} \\ y \\ z \end{array}]$